信息光学第一次讨论课
题目内容
讨论题第一题
与余弦振幅型光栅相比, 正弦型相位光栅的光强分布有什么特点？
小组分工
| 任务 | 组员 |
|---|---|
| 文本公式推导 | 胡霁林 皋嘉恒 胡祎 程煜 胡云婷 |
| PPT 制作整合 | 谢舒冰 李涛 董邦隆 |
| 模拟计算画图 | 王雪逸 宋昊天 张宇轩 |
| 上台演讲 | 崔杰 |
第一部分 - 理论分析
1.夫琅和费衍射场推导
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课上我们曾推导过余弦振幅型光栅的夫琅和费衍射形式。为推导及对比过程更简洁、鲜明, 取正弦相位型光栅的夫琅和费衍射形式。设一单位振幅的单色平面波垂直照射在一个边长为L的正方形正弦位相光栅, 则照明光在光栅前表面的复振幅分布为:
\[U_i\left(x_0,y_0\right)=1\] -
边长为 $l$ 的正方形正弦型位相光栅的复振幅透过率为:
\[t\left(x_{0}, y_{0}\right)=rect\left(\frac{x_{0}}{l}, \frac{y_{0}}{l}\right) e^{\frac{m}{2}} \sin 2 \pi \xi_{0} x_{0}\] -
正弦型位相光栅后表面的光场分布为:
\[U_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)=U_{i}\left(x_{0}, y_{0}\right) t\left(x_{0}, y_{0}\right)=rect\left(\frac{x_{0}}{l}, \frac{y_{0}}{l}\right) e^{\frac{m}{2}} \sin 2 \pi \xi_{0} x_{0}\]
2.求解衍射场分布函数
傅里叶分析方法要求对屏函数进行变换, 而上式的指数项复合函数难以直接求解, 需要寻找其他方法.
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根据数学恒等式:
\[e^{\frac{m}{2} j \sin 2 \pi \xi_{0} x_{0}}=\sum_{q=-\infty}^{\infty} J_{q}\left(\frac{m}{2}\right) e^{j 2 \pi q \xi_{0} x_{0}}\] -
则光栅后表面的光场分布可写作:
\[U_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)=rect\left(\frac{x_{0}}{l}, \frac{y_{0}}{l}\right) \sum_{q=-\infty}^{\infty} J_{q}\left(\frac{m}{2}\right) e^{j 2 \pi q \xi_{0} x_{0}}\] -
正弦型位相光栅的夫琅禾费衍射场的复振幅分布
\[\begin{array}{rcl} U\left( {x,y} \right) &=& \frac{e^{jkz}}{j\lambda z}e^{jk\frac{x^{2} + y^{2}}{2z}}\mathcal{F}\left\{ {rect\left\{ {\frac{x_{0}}{l},\frac{y_{0}}{l}} \right\}{\sum\limits_{q - \infty}^{\infty}{J_{q}\left\{ \frac{m}{2} \right\}e^{j2\pi{q\xi}_{0}x_{0}}}}} \right\} \\ &=& \frac{e^{jkz}}{j\lambda z}e^{jk\frac{x^{2} + y^{2}}{2z}}\mathcal{F}\left\{ {rect\left\{ {\frac{x_{0}}{l},\frac{y_{0}}{l}} \right\}} \right\} \ast \mathcal{F}\left\{ {\sum\limits_{q - \infty}^{\infty}{J_{q}\left\{ \frac{m}{2} \right\}e^{j2\pi{q\xi}_{0}x_{0}}}} \right\} \\ &=& \frac{e^{jkz}}{j\lambda z}e^{jk\frac{x^{2} + y^{2}}{2z}}l^{2}sinc\left( {l\xi,l\eta} \right) \ast {\sum\limits_{q - \infty}^{\infty}{J_{q}\left( \frac{m}{2} \right)\delta\left( {\xi - q\xi_{0}} \right)}} \\ &=& \frac{e^{jkz}}{j\lambda z}e^{jk\frac{x^{2} + y^{2}}{2z}}l^{2}{\sum\limits_{q - \infty}^{\infty}{J_{q}\left( \frac{m}{2} \right)}}sinc\left( {l\left( {\xi - q\xi_{0}} \right),l\eta} \right) \\ &=& l^{2}sinc(\frac{ly}{\lambda z})\frac{e^{jkz}}{j\lambda z}e^{jk\frac{x^{2} + y^{2}}{2z}}{\sum\limits_{q - \infty}^{\infty}{J_{q}\left( \frac{m}{2} \right)}}sinc\lbrack\frac{l}{\lambda z}(x - q\xi_{0}\lambda z)\rbrack \end{array}\]
3.光强分布特点
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若 $2 \frac{\lambda z}{l} \ll \xi_{0} \lambda z$ ,即 $\xi_{0}\gg \frac{2}{l}$ 时, 忽略各衍射级交叉项, 因而其强度分布为:
\[I \left( {x ,y } \right) = U \left( {x ,y } \right)U ^{\ast} = {(\frac{l ^{2}}{\lambda z })}^{2}{\sum\limits_{q = - \infty}^{\infty}{J _{q }\left( \frac{m }{2} \right)}}~{s i n c }^{2}\lbrack\frac{l }{\lambda z }(x - q \xi _{0}\lambda z )\rbrack~{s i n c }^{2}(\frac{l y }{\lambda z })\]
-
对比余弦振幅型光栅:
\[I (x ,y ) = \left( \frac{c l ^{2}}{\lambda z } \right)^{2} sinc ^{2} \left( \frac{l y }{\lambda z } \right) \left[ sinc ^{2}(\frac{x }{\lambda {z /l }}) + \frac{1}{16} \left( sinc ^{2}(\frac{x - \lambda {z /d }}{\lambda {z /l }}) + sinc ^{2}(\frac{x + \lambda {z /d }}{\lambda {z /l }}) \right) \right]\]
- 分析:
- 余弦振幅型光栅
- 衍射级数: 由 $sinc^2$ 项决定. 余弦振幅型光栅只存在 $0$ 级和 $\pm 1$ 级衍射, 而正弦位相型光栅则具有更高级的衍射.
- 各级衍射光强: 余弦振幅型光栅能量主要分布在0级衍射上 (是 $\pm 1$ 级的 $16$ 倍).
- 正弦位相型光栅
- 正弦位相型光栅各级衍射的光强由 $J_q\left( \frac{m}{2}\right)$ 决定, 对 $q$ 级衍射, 其强度为 $\left[\frac{l^{2}}{\lambda z} J_{q}\left(\frac{m}{2}\right)\right]^{2}$ .但$J_q\left( \frac{m}{2}\right)$ 随 $m$ 取值不同将导致不同的能量分布.
- 这意味着可以通过适当调控 $m$ 值, 使得能量向高级衍射分量转移。由于 $0$ 级衍射无色散不具有分辨能力, 可以通过选取 $m$ 值消去 $0$ 级能量, 提高更高级衍射的效率.
- 余弦振幅型光栅
4.衍射效率对比
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除光强分布特征外, 我们还可以对其衍射效率进行对比分析. 由于光栅利用往往选取 $\pm 1$ 级衍射, 以其相对强度为衍射效率.
\[\mathit{t}\left( \mathit{x}_{0} \right) = \frac{1}{2} + \frac{\mathit{m}}{2}{\cos{(2\mathit{\pi}\mathit{f}_{0}\mathit{x}_{0})}}\] \[\mathit{t}\left( \mathit{x}_{0} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}{\exp{\left( {\mathit{j}2\mathit{\pi}\mathit{f}_{0}\mathit{x}_{0}} \right) + \frac{1}{4}{\exp{( - \mathit{j}2\mathit{\pi}\mathit{f}_{0}\mathit{x}_{0})}}}}\]正弦振幅型透过率函数(m=1时衍射1级最强): -
通过光栅的透射波中第一级衍射波振幅为入射波振幅的 $\frac{1}{4}$, 能量为入射能量的 $\frac{1}{16}$, 因此其最大衍射效率 $\eta = \frac{1}{16} = 6.25\%$.
第二部分 - 建模绘图
1.直接建模
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除了从表达式分析两种光栅的衍射效果外, 我们还使用数值模拟的方法, 对一束垂直入射平面波通过光栅的情况进行模拟, 从而更为清晰的表现出两者的差别.
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模拟参数:
- 光栅宽度: $0.111m$
- 传播距离: $2000m$
- 波长: $0.5\times 10^{-6}m$
2.公式转化
- 除了上述直接模拟的办法, 本组也利用公式推导部分得到的公式进行直接绘图, 得到余弦振幅型光栅和正弦相位型光栅的后表面光场分布图如图.
